[현대암호학] 제 2장 암호수학(3)

(2021.10.04)
이번에 정리할 부분의 목차

2.3 행렬
 2.3.1 정의
 2.3.2 연산과 관계식
 2.3.3 행렬식
 2.3.4 역행렬
 2.3.5 잉여행렬

2.4 선형 합동
 2.4.1 일변수 선형 방정식
 2.4.2 일차 연립 방정식

(행렬은 1학기 때 선형대수 들으면서 무진장 많이 공부했기 때문에 가볍게 정리)

 

 

 

 

 

2.3 행렬(Matrices)

 

2.3.1 행렬 정의

 

행렬은 l x m 개의 원소를 가지는 직사각형 배열임.

l은 행의 개수, m은 열의 개수

행은 row, 열은 column

행은 가로, 열은 세로

 

정방행렬: 행과 열의 개수가 같은 행렬

행 m번째, 열 n번째라 하면, 정방행렬에서 m=n인 원소들은 주대각선을 이룸.

항등핼렬(I): 주대각선이 1이고, 나머지는 0인 정방행렬

 

 

2.3.2 연산과 관계식

 

(생략)

 

 

 

2.3.3 행렬식

 

크기가 m x m인 정방행렬 A가 있음

A의 행렬식(determinant)은 det(A)로 표현됨.

 

 

 

 

 

2.3.4 역행렬

 

1) 덧셈에 대한 역행렬

행렬 A의 덧셈에 대한 역행렬은 A+B=0 을 만족하는 행렬 B임.

A의 덧셈에 대한 역행렬은 -A로 표현함.

 

 

2) 곱셈에 대한 역행렬

--> 정방행렬에서만 정의됨.

--> det(A)가 대응하는 집합에서 곱셈에 대한 역원을 가질 때만 존재함.

행렬 A의 곱셈에 대한 역행렬은 A x B = B x A = I 를 만족하는 행렬 B임.

A의 곱셈에 대한 역행렬은 A^(-1)로 표현함.

 

정수 집합 Z에서는 곱셈에 대한 역원을 가지지 않기 때문에 행렬의 곱셈에 대한 역행렬 존재하지 않음.

실수를 원소로 하는 행렬은 det(A)≠0 일 경우에만 역행렬 가짐.

 

 

 

 

2.3.5 잉여행렬(residue matrices)

 

잉여행렬은 행렬의 모든 원소가 Zn에 속하는 행렬임.

--> gcd(det(A),n)=1 이면, 행렬 A는 곱셈에 대한 역행렬을 갖는다.

(행렬의 행렬식이 Zn에서 곱셈에 대한 역원을 가지면)

 

ex) Z26에서 det(A)=21 일 때, gcd(21,26)=1 이다.

따라서, 21 x 5 ≡ 1 mod 26 이므로 det(A^-1)=5이다.

 

 

두 행렬은 모듈로 n에 대하여 합동이다.   라는 말의 정의

--> 두 행렬이 열과 행의 개수가 같고, 모든 대응되는 원소가 모듈로 n에 대해 합동임.

--> A ≡ B (mod n)  (행렬 A, B)

 

 

 

 

 

2.4 선형 합동

 

 

2.4.1 일변수 선형 방정식(single-variable linear equations)

 

 

 

 

 

 

 

2.4.2 일차 연립 방정식

 

(책 66p에 나온 예제 2.38은 잘 모르겠다..)